Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện ganh đua nhập lớp 10

Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai vừa lòng ĐK cho tới trước được VnDoc tổ hợp và share xin xỏ gửi cho tới độc giả nằm trong xem thêm. Các dạng bài bác luyện lần m thông thường gặp gỡ trong những đề ganh đua Toán 9 hoặc đề ganh đua tuyển chọn sinh nhập lớp 10. Để nâng lên tài năng giải bài bác những em nằm trong xem thêm những dạng việc lần m nhằm phương trình sở hữu nghiệm có một không hai nhưng mà VnDoc tổ hợp sau đây nhé.

I. Hệ phương trình hàng đầu nhị ẩn

- Hệ phương trình hàng đầu nhị ẩn sở hữu dạng: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ax + by = c} \\ {hx + ky = d} \end{array}} \right.\left( * \right)$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ax + by = c} \\ {hx + ky = d} \end{array}} \right.\left( * \right)$

Trong cơ x, nó là ẩn số, những chữ số a, b, h, k, c, d là những hệ số

- Nếu cặp số (x₀; y₀) mặt khác là nghiệm của tất cả nhị phương trình của hệ phương trình (*) thì tớ gọi (x₀; y₀) là nghiệm của hệ phương trình (*)

- Giải hệ phương trình (*) tớ tìm kiếm được luyện nghiệm của nó

II. Cách giải việc Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai vừa lòng ĐK cho tới trước

+ Cách 1: Đặt ĐK nhằm hệ phương trình sở hữu nghĩa (nếu có)

+ Cách 2: Tìm ĐK nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm duy nhất

+ Cách 3: Giải hệ phương trình lần nghiệm (x; y) theo đòi thông số m

+ Cách 4: Thay nghiệm (x; y) một vừa hai phải tìm kiếm được nhập biểu thức điều kiện

+ Cách 5: Giải biểu thức ĐK nhằm lần m, kết phù hợp với ĐK nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai.

+ Cách 6: Kết luận

III. Bài luyện ví dụ việc Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai vừa lòng ĐK cho tới trước

Bài 1: Cho hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m - 1} \right)x + nó = 2} \\ {mx + nó = m + 1} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m - 1} \right)x + nó = 2} \\ {mx + nó = m + 1} \end{array}} \right.$ với m là thông số.

a) Giải hệ phương trình Khi m = 2.

b) Chứng minh rằng với từng độ quý hiếm của m thì hệ phương trình luôn luôn sở hữu nghiệm có một không hai (x; y) vừa lòng 2x + nó ≤ 3

Lời giải:

a) Giải hệ phương trình Khi m = 2

Thay m = 2 nhập hệ phương trình tớ được:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + nó = 2} \\ {2x + nó = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + nó = 2} \\ {x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \\ {x = 1} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + nó = 2} \\ {2x + nó = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + nó = 2} \\ {x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \\ {x = 1} \end{array}} \right.$

Vậy Khi m = 2 hệ phương trình sở hữu nghiệm (x; y) = (1; 1)

b) Rút nó kể từ phương trình loại nhất tớ được

y = 2 – (m – 1)x thế nhập phương trình còn sót lại tớ được phương trình:

3m + 2 – (m – 1)x = m + 1

<=> x = m – 1

Suy rời khỏi nó = 2(m – 1)² với từng m

Vậy hệ phương trình luôn luôn sở hữu nghiệm có một không hai (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)²)

2x + nó = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)² = -m² + 4m – 1 = 3 – (m – 2)² ≤ 3 với từng độ quý hiếm của m.

Bài 2: Cho hệ phương trình

a, Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai $\left\{ \begin{array}{l} 3x + my = 4\\ x + nó = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 3x + my = 4\\ x + nó = 1 \end{array} \right.$

b, Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm x < 0; nó > 0

Lời giải:

a, Để hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai $\Leftrightarrow \frac{3}{1} \ne \frac{m}{1}$ $\Leftrightarrow \frac{3}{1} \ne \frac{m}{1}$ ⇔ m ≠ 3

b, Với m ≠ 3, hệ phương trình sở hữu nghiệm duy nhất

Theo đề bài bác, tớ có:

$\left\{ \begin{array}{l} 3x + my = 4\\ x + nó = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3\left( {1 - y} \right) + my = 4\\ x = 1 - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 - 3y + my = 4\\ x = 1 - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{1}{{m - 3}}\\ x = \frac{{m - 4}}{{m - 3}} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 3x + my = 4\\ x + nó = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3\left( {1 - y} \right) + my = 4\\ x = 1 - nó \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 - 3y + my = 4\\ x = 1 - nó \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} nó = \frac{1}{{m - 3}}\\ x = \frac{{m - 4}}{{m - 3}} \end{array} \right.$

Để nó > 0 $\Leftrightarrow \frac{1}{{m - 3}} > 0$ $\Leftrightarrow \frac{1}{{m - 3}} > 0$ ⇒ m - 3 > 0 ⇔ m > 3

Để x < 0 Khi và chỉ khi

$\frac{{m - 4}}{{m - 3}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 4 > 0\\ m - 3 < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 4 < 0\\ m - 3 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow 3 < m < 4$ $\frac{{m - 4}}{{m - 3}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 4 > 0\\ m - 3 < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 4 < 0\\ m - 3 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow 3 < m < 4$

Vậy với 3 < m < 4 thì hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai vừa lòng x < 0 và nó > 0

Bài 3: Tìm m vẹn toàn nhằm hệ phương trình sau sở hữu nghiệm có một không hai và là nghiệm nguyên: $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$

Lời giải:

Với m = 0 hệ phương trình trở nên $\left\{ \begin{array}{l} 2y = 1\\ 2x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{1}{2}\\ x = \frac{1}{2} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2y = 1\\ 2x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} nó = \frac{1}{2}\\ x = \frac{1}{2} \end{array} \right.$ (loại tự những nghiệm nguyên)

Với m không giống 0, nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow \frac{m}{2} \ne \frac{2}{m}$ $\Leftrightarrow \frac{m}{2} \ne \frac{2}{m}$ ⇔ m² ≠ 4 ⇔ m ≠ ± 2, kết phù hợp với ĐK m ≠ 0 ⇒ m ≠ 0 và m ≠ ± 2

Vậy với m ≠ 0 và m ≠ ± 2 thì hệ phương trình sở hữu nghiệm duy nhất

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2y = m + 1 - mx\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{m + 1 - mx}}{2}\\ 2x + m.\frac{{m + 1 - mx}}{2} = 2m - 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2y = m + 1 - mx\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} nó = \frac{{m + 1 - mx}}{2}\\ 2x + m.\frac{{m + 1 - mx}}{2} = 2m - 1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{m + 1 - mx}}{2} = \frac{{2m + 1}}{{m + 2}}\\ x = \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} nó = \frac{{m + 1 - mx}}{2} = \frac{{2m + 1}}{{m + 2}}\\ x = \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \end{array} \right.$

Để x vẹn toàn $\Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 1 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z$ $\Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 1 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z$

Để nó vẹn toàn $\Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z$ $\Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z$

Vậy nhằm x, nó vẹn toàn thì m + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

Ta sở hữu bảng:

m + 5	-3	-1	1	3
m	-5 (tm)	-2 (loại)	-1 (tm)	1 (tm)

Vậy với m ∈ {-5; -1; 1} thì hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai vừa lòng những nghiệm nguyên

Bài 4: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + nó = m\\ {x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x + nó = m\\ {x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6 \end{array} \right.$. Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm (x; y) sao cho tới biểu thức Phường = xy + 2(x + y) đạt độ quý hiếm nhỏ nhất. Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất cơ.

Lời giải:

$\left\{ \begin{array}{l} x + nó = m\\ {x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + nó = m\\ {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = - {m^2} + 6 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x + nó = m\\ {x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + nó = m\\ {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = - {m^2} + 6 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} x + nó = m\\ xy = {m^2} - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = m - y\left( 1 \right)\\ {x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x + nó = m\\ xy = {m^2} - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = m - y\left( 1 \right)\\ {x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Để hệ phương trình sở hữu nghiệm Khi và chỉ Khi phương trình (2) sở hữu nghiệm

⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ -3m² + 12 0 ⇔ m² - 4 ≤ 0 ⇔ (m - 2)(m + 2) ≤ 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 2 \le 0\\ m + 2 \ge 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 2 \le 0\\ m + 2 \ge 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow - 2 \le m \le 2$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 2 \le 0\\ m + 2 \ge 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 2 \le 0\\ m + 2 \ge 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow - 2 \le m \le 2$

Vậy với -2 ≤ m ≤ 2 thì hệ phương trình sở hữu nghiệm.

Ta có P = xy + 2 (x + y) = m² - 3 + 2m = (m + 1)² - 4 ≥ - 4

Dấu “=” xảy tớ Khi m = -1 (thỏa mãn)

Vậy min Phường = -4 Khi m = -1

IV. Bài luyện tự động luyện về sự Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai vừa lòng ĐK cho tới trước

Bài 1: Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x - 2y = m - 1\\ {m^2}x - nó = {m^2} + 2m \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x - 2y = m - 1\\ {m^2}x - nó = {m^2} + 2m \end{array} \right.$. Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai sao cho những nghiệm đều nguyên

Bài 2: Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} mx - nó = 1\\ x + my = m + 6 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} mx - nó = 1\\ x + my = m + 6 \end{array} \right.$. Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai (x; y) vừa lòng 3x – nó = 1

Bài 3: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = 18\\ x - nó = - 6 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = 18\\ x - nó = - 6 \end{array} \right.$. Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai (x; y) vừa lòng 2x + nó = 9

Bài 4: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5\\ mx + nó = 4 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5\\ mx + nó = 4 \end{array} \right.$. Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai (x; y) vừa lòng x = |y|.

Bài 5: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x - nó = 1\\ mx + nó = 5 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2x - nó = 1\\ mx + nó = 5 \end{array} \right.$. Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai (x; y) thỏa mãn

a, x và nó ngược dấu

b, x và nó nằm trong dương

Bài 6: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x + my = 2m - 1\\ mx - nó = {m^2} - 2 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x + my = 2m - 1\\ mx - nó = {m^2} - 2 \end{array} \right.$. Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai (x; y) sao cho tới Phường = x.nó đạt độ quý hiếm rộng lớn nhất

Bài 7: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 3 - m\\ 2x + nó = 3\left( {m + 2} \right) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 3 - m\\ 2x + nó = 3\left( {m + 2} \right) \end{array} \right.$. Tìm m nhằm hệ phương trình sở hữu nghiệm có một không hai (x; y) sao cho tới A = x² + y² đạt độ quý hiếm nhỏ nhất

-------------------

Chuyên đề về Hệ phương trình lớp 9
Toán nâng lên lớp 9 Chủ đề 5: Hệ phương trình
Các dạng hệ phương trình quánh biệt
Chuyên đề 4: Giải bài bác Toán bằng phương pháp lập phương trình, hệ phương trình

Ngoài những dạng Toán 9 ôn ganh đua nhập lớp 10 bên trên, chúng ta học viên còn rất có thể xem thêm thêm thắt Đề ganh đua học tập kì 1 lớp 9 và Đề ganh đua học tập kì 2 lớp 9 nhưng mà công ty chúng tôi tiếp tục thuế tầm và tinh lọc. Với tư liệu này canh ty chúng ta tập luyện thêm thắt tài năng giải đề và thực hiện bài bác chất lượng rộng lớn, thông qua đó canh ty chúng ta học viên ôn luyện, sẵn sàng chất lượng nhập kì ganh đua tuyển chọn sinh lớp 10 tiếp đây. Chúc chúng ta ôn ganh đua tốt!

Các dạng bài bác luyện Toán 9 ôn ganh đua nhập lớp 10 là tư liệu tổ hợp 5 chuyên mục rộng lớn nhập công tác Toán lớp 9, bao gồm:

Rút gọn gàng biểu thức - Xem thêm thắt Ôn ganh đua nhập lớp 10 chuyên mục 1: Rút gọn gàng và tính độ quý hiếm của biểu thức
Hàm số trang bị thị - Xem thêm thắt Ôn ganh đua nhập lớp 10 chuyên mục 5: Hàm số và trang bị thị
Phương trình, hệ phương trình - Xem thêm thắt Ôn ganh đua nhập lớp 10 chuyên mục 2: Giải phương trình và hệ phương trình hàng đầu nhị ẩn
Giải việc bằng phương pháp lập phương trình, hệ phương trình - Xem thêm thắt Kỹ năng giải toán bằng phương pháp lập phương trình, hệ phương trình
Hình học - Xem thêm thắt Ôn ganh đua nhập lớp 10 chuyên mục 10: Chứng minh những hệ thức hình học